Мы обобщаем оценку для ранга пересечения подгрупп в свободном произведении групп, доказанную ранее С. В. Ивановым и У. Диксом (аналог неравенства Х. Нейман в свободной группе), на случай свободного произведения двух групп с объединенной нормальной конечной подгруппой. Мы также доказываем неулучшаемость полученной оценки в случае, когда свободное произведение с объединенной подгруппой содержит инволюцию.