В работе изучаются обобщенные собственные функции непрерывного (существенного) спектра для операторе Шрёдингера с сингулярным δ-потенциалом, имеющим носитель на сторонах угла на плоскости. Задача для такого оператора возникает в квантовомеханических моделях о разрушении состояний двух квантовых частиц, связанных точечным взаимодействием, при отражении одной из них потенциальным барьером. В работе предложен подход, который позволяет строить интегральные представления для собственных функций в терминах решения функционально-разностного уравнения со спектральным параметром. Решения такого уравнения изучаются посредством редукции к интегральному и исследования спектральных свойств соответствующего интегрального оператора. Построена асимптотика собственной функции на больших расстояниях и ей придан физический смысл с точки зрения волнового рассеяния. Предложенный подход может быть применен для изучения собственных функций в широком круге родственных задач для оператора Шрёдингера с сингулярным потенциалом.