В статье изучается стохастическая динамическая система, которая описывается линейным векторным уравнением с симметричной матрицей второго порядка в идемпотентном полукольце с операциями максимума и сложения. Предполагается, что диагональными элементами матрицы являются неотрицательная случайная величина и ноль, а оба недиагональных элемента равны произвольной неотрицательной константе. Рассматривается задача определения средней асимптотической скорости роста вектора состояний (показателя Ляпунова) системы. Решение включает замену переменных, в результате которой вместо случайных координат вектора состояний вводятся новые случайные величины, анализ которых оказывается более удобным. Затем выполняется построение и исследование сходимости соответствующих последовательностей одномерных функций распределения. Показатель Ляпунова вычисляется как среднее значение предельного распределения одной из последовательностей.