Для класса полных дискретно нормированных полей простой характеристики $p$, включающего двумерные локальные поля, изучаются различные свойства инвариантов ветвления бесконечных абелевых расширений экспоненты $p$. В частности, доказано, что максимальное такое расширение с заданной верхней границей скачков ветвления имеет конечную глубину ветвления, и вычислена эта глубина.