В настоящей работе результаты предшествующих работ автора и Рузби Хазрата обобщаются еще в одном, совершенно неожиданном направлении. А именно, доказано, что взаимный коммутант [E(n,F),E(n,B)] двух элементарных подгрупп в полной линейной группе GL(n,R), n>=3, порождается элементарными коммутаторами. Отсюда выводятся замечательные следствия, обобщающие большое количество предшествующих результатов.