Рассматривается асимптотика задачи Неймана для уравнения\break Штурма--Лиувилля с весовой мерой, являющейся обобщенной производной самоподобной функции обобщенного канторовского типа. Для широкого класса самоподобных функций продемонстрировано свойство спектральной периодичности, а так же более слабое свойство спектральной квазипериодичности для некоторых задач со смешанными краевыми условиями. Это позволяет получить более точное описание главного члена асимптотики считающей функции собственных чисел. Обобщаются результаты работ А. А. Владимирова и И. А. Шейпака.