Работа посвящена исследованию предельного поведения решений систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Рассматривается случай, в котором все решения системы имеют одно предельное положение, которое, в свою очередь, может не являться инвариантным множеством рассматриваемой системы. Вводится понятие асимптотического положения покоя. На базе прямого метода Ляпунова, пользуясь методом функционалов Красовского, были получены достаточные условия существования асимптотического положения покоя в системах дифференциальноразностных уравнений. Также найдены новые достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения систем дифференциально-разностных уравнений.