Работа поддержана грантом Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ (проект НШ-1676.2008.1), грантом Российского фонда фундаментальных исследований и Государственного фонда естественных наук Китая (проект № 08-08-92208ГФЕН), грантом программы ИНТАС-СО РАН (проект № 06-1000013-9019) и Программой К» 15 ОЭММПУ РАН. Рассматриваются механические системы, находящиеся под действием диссипативных, гироскопических и существенно нелинейных позиционных сил. Определяются достаточные условия асимптотической устойчивости положений равновесия изучаемых систем. Предполагается, что анализ устойчивости невозможно выполнить на основе линейного приближения. В таких случаях наиболее употребительным способом исследования является метод функций Ляпунова, в качестве которых для механических систем часто используют полную энергию или ее модификации. Однако при наличии неконсервативных позиционных сил в системе полная энергия уже не будет обладать свойствами функции Ляпунова. В случае существенно нелинейных позиц