В работе исследуется предельное поведение решений систем нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. В частности, рассматривается случай, когда у решений системы существует нулевое предельное положение, которое может не являться инвариантным множеством рассматриваемой системы. Вводится понятие асимптотического положения покоя для траекторий систем с запаздыванием. На базе второго метода Ляпунова (с помощью подхода Разумихина, в котором предлагается исследовать поведение решений системы при помощи построения классической функции Ляпунова, но оценку ее производной вдоль решений системы проводить не на всем множестве интегральных кривых, а на некотором его подножестве) были получены достаточные условия, при выполнении которых исходная система имеет асимптотическое положение покоя, а также асимптотическое положение покоя в целом.С целью демонстрации применения полученных результатов приводятся примеры нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием, имеющих асимптотическое положение покоя, на которых продемонстрировано применение полученных результатов