Рассматриваются усредненные волновые операторы для сингулярных унитарных операторов $U_1$, $U_2$ и ограниченного оператора отождествления $A$. В случае, когда коммутатор $AU_1-U_2A$ имеет ранг 2, доказано, что усредненные волновые операторы прошлого и будущего существуют или нет одновременно, и если существуют, то совпадают. Построен пример оператора ранга 2, не представимого в виде $AU_1-U_2A$. В качестве следствий получены результаты о граничном поведении интегралов типа Коши.