В статье рассматривается функциональное уравнение Бетхера и одно из его вещественных обобщений. Показано, что в некоторых ситуациях после нахождения частного решения обобщенного уравнения удается получить и другие его решения. В качестве примера описано трехпараметрическое семейство вещественных функциональных уравнений на функцию двух аргументов, для которого найдены частные решения. Описанное обобщение имеет широкую область применения. Многие величины после надлежащим образом введенной параметризации удовлетворяют обобщенному уравнению Бетхера как функции параметров. В качестве иллюстрации приведены двухпараметрические семейства, порожденные определителем линейной комбинации матриц второго порядка. Показано, что параметризованный интеграл Пуассона, как функция своих параметров, удовлетворяет обобщенному уравнению Бетхера. Это позволило вычислить интеграл Пуассона и интеграл Эйлера новым способом. В качестве дополнения излагается вычисление интеграла Пуассона методом интегральных сумм.