В статье подводится итог исследований авторов о решении обобщенных уравнений Бетхера второго порядка от двух аргументов. Целью исследования является описание класса гладких решений таких уравнений, определённых на некоторой конической области с вершиной в начале координат. Решающим оказался метод прямого описания орбит действия общей линейной группы на пространстве тензоров типа (2,1), симметричных по ковариантным индексам. В статье были доказаны структурные теоремы о строении орбит (теоремы 1-4). Было доказано, что любое обобщённое уравнение Бетхера второго порядка приводит к одному из тринадцати типов уравнений, соответствующих тензорам, названных авторами каноническими (теорема 5). В данном исследовании часть обобщённых уравнений Бетхера решена полностью, и остальная часть сведена к четырём однопараметрическим и двум двухпараметрическим семействам функциональных уравнений Шрёдера от одной переменной. Приведены частичные решения указанных уравнений.