Статья представляет собой расширенный текст доклада на PCA-2014. В ней анонсируются недавние результаты авторов по описанию уравнений на элементы группы Шевалле типа E_7 в 56-мерном уравнении и по описанию уравнений на орбиту старшего веса групп Шевалле типов E_6, E_7 и E_8 в присоединенном представлении. Кроме того, формулируется недавний результат Гарибальди и Гуральника о полиномиальном инварианте степени 8 для группы Шевалле типа E_8 в присоединенном представлении и связанные с этим открытые проблемы и дается краткий общий обзор недавних достижений Петербургской школы по исключительным группам.