Мы рассматриваем односвязную группу Шевалле G(E_7,R) типа E_7 в 56-мерном представлении. Основной целью работы является доказательство совпадения следующих четырех групп: нормализатор элементарной группы Шевалле E(E_7,R), нормализатор группы Шевалле G(E_7,R), транспортер E(E_7,R) в G(E_7,R), расширенная группа Шевалле \overline G(E_7,R). Это совпадение имеет место для совершенно произвольного коммутативного кольца R, а все нормализаторы и транспортеры здесь берутся в GL(56,R). Кроме того, мы характеризуем \overline G(E_7,R) как стабилизатор системы квадрик. Этот результат классически известен для алгебраически замкнутых полей, в настоящей работе мы доказываем гладкость получающейся схемы над Z, откуда следует его справедливость для произвольного коммутативного кольца. Эти результаты являются одним из основных инструментов в нашей следующей работе, посвященной надгруппам исключительных групп в минимальных представлениях.