Мы исследуем околопороговое поведение сечений процессов низкоэнергетического рассеяния антипротонов на основном и возбужденном состояниях позитрония при значениях полного орбитального момента системы L=0. В вычислительном эксперименте подтверждено существование над порогами возбужденных состояний атомов позитрония и антиводорода особенностей, называемых осцилляциями Гайлитиса-Дамбурга. Полученные результаты в дальнейшем могут оказаться полезными для выработки предложений по усовершенствованию условий экспериментов с антиматерией.