В гильбертовом пространстве рассматривается семейство операторов A(t)=X(t)^*X(t), где X(t)=X_0+tX_1.Предполагается, что точка ноль является изолированным собственным значением оператора A(0) конечной кратности. Получены аппроксимации при малом t для спектрального проектора оператора A(t), отвечающего малому промежутку спектра вблизи края спектра, и для самого оператора, умноженного на этот проектор (так называемые пороговые аппроксимации). На их основе построены аппроксимации для операторной экспоненты и для резольвенты в терминах спектральных характеристик оператора вблизи края спектра. В аппроксимациях учтены первый и второй корректоры.