Классическая теорема Лузина утверждает, что измеримая функция одной переменной “почти” непрерывна. Для измеримых функций нескольких переменных аналогичное утверждение (непрерывность на произведении множеств почти полной меры) уже не всегда имеет место. Поиск правильного аналога этой теоремы приводит к понятию виртуально непрерывных функций нескольких переменных. Это, по-видимому, новое понятие неявно присутствует в утверждениях типа теорем вложения и теорем о следах для пространств Соболева и фактически вскрывает их природу как теорем о виртуальной непрерывности. Из наших результатов следует, что в условиях теорем Соболева интегрирование функции возможно по очень широкому классу сингулярных мер, включая как частный случай меры, сосредоточенные на подмногообразиях. Понятие виртуальной непрерывности используется и для классификации измеримых функций нескольких переменных, а также в ряде вопросов теории динамических систем, теории полиморфизмов и бистохастических мер. В этой работе мы напоминаем необходимые опре