В гильбертовом пространстве H рассматривается семейство операторов A(t), t∈R, допускающих факторизацию вида A(t)=X(t)∗X(t), где X(t)=X0+X1t+⋯+Xptp, p≥2. Предполагается, что точка λ0=0 является изолированным собственным значением оператора A(0) конечной кратности. Пусть F(t) — спектральный проектор оператора A(t) для промежутка [0,δ]. При |t|≤t0 получены аппроксимации по операторной норме в H для проектора F(t) с погрешностью O(t2p) и для оператора A(t)F(t) с погрешностью O(t4p) (так называемые пороговые аппроксимации). Числа δ и t0 контролируются явно. На основе пороговых аппроксимаций найдено приближение по операторной норме в H для резольвенты (A(t)+ε2pI)−1 при |t|≤t0 и малом ε>0 с погрешностью O(1). Все упомянутые аппроксимации даются в терминах спектральных характеристик оператора A(t) вблизи нижнего края спектра. Результаты нацелены на применение к задачам усреднения периодических дифференциальных операторов в пределе малого периода.