В работе исследуется связь расстояния Банаха-Мазура и модифицированного расстояния Банаха-Мазура. Усилена теорема Шарека о построении инвариантной нормы со специальными свойствами. Построены экстремально далекие нормированные пространства с нормами, инвариантными относительно групп автоморфизмов малой мощности. Доказано, что тривиальная верхняя оценка расстояния Банаха-Мазура через модифицированное расстояние Банаха-Мазура точна по порядку.