На основе метода понижения порядка излагается алгоритм вычисления числа чисто мнимых корней у характеристического многочлена. Решение этой задачи позволит исследовать достаточно тонкий вопрос об устойчивости линейной системы в том случае, когда характеристический многочлен имеет, кроме корней, лежащих в левой полуплоскости, чисто мнимые, но не кратные корни. В статье приведена общая методика исследования качественной картины распределения корней произвольного многочлена на комплексной плоскости.