Тропическая (идемпотентная) математика представляет собой быстро развивающуюся область математики, связанную с изучением полуколец с идемпотентным сложением, роль которой как теоретической дисциплины и эффективного инструмента решения практических задач в экономике, технике, управлении и других областях постоянно растет. Описание в терминах идемпотентной математики позволяет целый ряд нелинейных в обычном смысле задач превращать в линейные, что во многих случаях приводит к упрощению анализа и решения задачи, а также облегчает представление и интерпретацию результатов. К числу актуальных направлений развития в этой области относится разработка теории и методов решения экстремальных задач тропической математики, включая идемпотентные аналоги задач линейного программирования и некоторые их обобщения.

Рассматриваются многомерные экстремальные задачи тропической математики, которые состоят в оптимизации функционалов, определенных на векторных полумодулях над идемпотентными полукольцами. Ограничения в задачах имеют вид линейных в смысле идемпотентной алгебры векторных уравнений и неравенств. Показано, что к таким задачам сводятся некоторые классические минимаксные задачи размещения (задачи Ролса), включая задачи размещения одиночных объектов с прямоугольной метрикой и метрикой Чебышева. Предлагаются различные подходы к решению задач на основе использования результатов теории линейных операторов на идемпотентных полумодулях. В частности, показано, что некоторые задачи могут быть сведены к вычислению собственного числа и собственных векторов некоторой подходящим образом определенной неразложимой матрицы.