Недавно Раймунд Пройссер получил очень короткие полиномиальные выражения элементарных образующих классических групп над произвольным коммутативным кольцом $R$ как произведений элементарных сопряженных произвольной обратимой матрицы и ее обратной. В частности, это дает очень короткое доказательство стандартного описания нормальных подгрупп. В Зап. научн. семин. ПОМИ {\bf 470} (2018), 21--37, я сформулировал обобщения этих результатов на исключительные группы, в особенности группы типов $\mathrm{E}_6$ и $\mathrm{E}_7$. Здесь я начинаю обсуждать еще одну вариацию замечательной идеи Пройссера. А именно, в случае $\mathrm{GL}(n,R)$, $n\ge 4$, я получаю аналогичное выражение элементарных трансвекций как сопряженных с $g\in\mathrm{GL}(n,R)$ и $g^{-1}$ при помощи \emph{относительных\/} элементарных матриц $x\in E(n,J)$, а затем $x\in E(n,R,J)$, для идеала $J\unlhd R$. Снова, это дает, в частности, очень короткие доказательства описания подгрупп, нормализуемых $E(n,J)$ или $E(n,R,J)$ -- и, тем самым, также субнормальных подгрупп в $\mathrm{GL}(n,R)$.
