Первая статья из серии обзоров, посвященных научным достижениям ленинградской--санкт-петербургской школы теории вероятностей и математической статистики в период с 1947 по 2017 г. Она посвящена традиционной для Санкт-Петербурга тематике предельных теорем для сумм независимых случайных величин. Речь идет о классических предельных теоремах: законе больших чисел, центральной предельной теореме и законе повторного логарифма, а также о круге примыкающих к ним важных задач, сформировавшемся во второй половине ХХ века. К последним относятся аппроксимация распределений сумм независимых слагаемых безгранично делимыми распределениями, оценка точности сильной гауссовской аппроксимации таких сумм и предельные теоремы о слабой сходимости почти наверное эмпирических мер, порождённых последовательностью сумм независимых случайных величин и векторов.