Изучается дискретный спектр и собственные функции дискретного спектра оператора Шрёдингера в плоскости с сингелярным $\delta$-потенциалом с носителем, сосредоточенным на трёх лучах. Оператор такого вида встречается в задачах квантового рассеяния трёх одномерных частиц с парным точечным взаимодействием и в задачах дифракции в клиновидных и конусовидных областях. Каноническая задача поиска собственной функции дискретного спектра оператора имеет классическую постановку.
С помощью интегрального представления Конторовича-Лебедева задача сводится к изучению системы однородных функционально-разностных уравнений со спектральным параметром второго порядка, изучены свойства решений такой системы. В зависимости от значений спектрального параметра описаны нетривиальные решения системы функционально-разностных уравнений. Изучены собственные решения системы посредством редукции к интегральному уравнению с
интегральным оператором, который является компактным возмущением оператора
Мёлера. Получено достаточное условие непустоты дискретного спектра.