Изучается асимптотика по расстоянию для собственной функции оператора
Шредингера в полуплоскости с сингулярным δ-потенциалом с носителем, сосредоточенным на двух лучах. Оператор такого типа встречается в задачах рассеяния трех одномерных квантовых частиц с точечным парным взаимодействием при некоторых дополнительных ограничениях, а также в задачах дифракции волн в клиновидных и конусовидных областях. С помощью представления Конторовича–Лебедева задача построения собственной функции оператора сводится к изучению системы однородных функционально-разностных уравнений с характеристическим (спектральным) параметром. Изучены свойства решений такой системы однородных функционально-разностных уравнений второго порядка с потенциалом из специального класса. В зависимости от значений характеристического параметра в уравнениях описаны их нетривиальные решения,
собственные функции уравнения. Исследование этих решений основано на сведении системы к интегральным уравнениям с самосопряженным ограниченным
оператором, который является вполне непрерывным возмущением матричного
оператора Мёлера. Предложены достаточные условия существования дискрет-
ного спектра правее существенного для возмущенного оператора Мёлера. Изу
чены условия конечности дискретного спектра. Эти результаты применяются
в рассматриваемой задаче в полуплоскости. С помощью перехода от представ-
ления Конторовича–Лебедева к интегральному представлению Зоммерфельда
построена асимптотика по расстоянию собственной функции рассматриваемого
оператора Шредингера.