В работе к линейному уравнению параболического типа с однородными граничными условиями применяется метод функционалов Ляпунова. В рамках этого подхода строится функционал, производная которого вдоль решений системы представляет собой заданную отрицательно определённую квадратичную форму. Ключевую роль в построении функционала играет матрица Ляпунова, исследованию которой посвящена значительная часть работы.
В статье предложены два определения данной матрицы. Первое основано на представлении ее в виде ряда. Второе, альтернативное, связывает матрицу Ляпунова с функцией Грина для соответствующего стационарного уравнения. Показана совместимость предложенных определений и доказано, что любая функция, удовлетворяющая второму определению, одновременно удовлетворяет и первому, что подтверждает согласованность двух подходов.
Важным преимуществом второго определения является его конструктивность: оно позволяет получить явное аналитическое выражение для матрицы Ляпунова при произвольных параметрах краевой задачи. Кроме того, показано, что данный подход даёт возможность строить функционалы с заданной производной без требования экспоненциальной устойчивости, что существенно расширяет область его применения.