Исследуется экстремальное свойство собственного числа неразложимой матрицы в идемпотентной алгебре. Показано, что это число оказывается минимальным значением некоторого функционала, заданного с помощью этой матрицы на множестве векторов с ненулевыми элементами. Рассматривается минимаксная задача размещения одиночного объекта (задача Ролса) на плоскости с прямоугольной метрикой. Для этой задачи дано соответствующее представление в терминах идемпотентной алгебры и предложено новое алгебраическое решение, которое опирается на результаты исследования экстремального свойства собственного числа и сводится к нахождению собственного числа и собственных векторов некоторой матрицы.