TY - JOUR

T1 - Сходящиеся разностные схемы эллиптического уравнения в классе суммируемых функций с сетеподобным носителем

AU - Жабко, Алексей Петрович

AU - Провоторов, Вячеслав Васильевич

AU - Тран, Зуй

AU - Еремин, Алексей Сергеевич

PY - 2025/7/10

Y1 - 2025/7/10

N2 - В работе указаны принципы построения сходящихся разностных схем и рассмотрен соответствующий им метод конечных разностей для анализа эллиптического уравнения в классе суммируемых функций с сетеподобным носителем. При этом не предполагается слабое решение краевой задачи, слабая разрешимость ее будет установлена с помощью метода конечных разностей. Исследование существенно опирается на некоторые свойства специальных соболевских пространств с конечной энергетической нормой. Свойства имеют общее значение, не связанное с особенностями той или иной краевой задачи, и, значит, определяют общий метод анализа решения этих задач. Предельные переходы осуществляются единообразно во всех задачах: если для приближений решения установлена равномерная ограниченность в норме специального пространства, то схема считается устойчивой в смысле метрики этого пространства, и тем самым открывается путь получения достаточных условий слабой сходимости семейства приближений, предельная функция есть слабое решение рассматриваемой задачи, причем можно выявить и условия сильной сходимости. Приведено решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения, но используется не само дифференциальное уравнение, а соответствующее ему интегральное тождество, и ищется аппроксимация последнего. Описанная идея может быть использована для уравнений параболического и гиперболического типов, хотя реализация ее несколько сложнее, однако значительно помогает то, что установлены аппроксимации их эллиптических частей. Предлагаемый метод конечных разностей применим с небольшими видоизменениями в случае параболических и других задач для векторных функций. Примером последнего в описании сетеподобных гидродинамических процессов служит линеаризованная система Навье — Стокса, рассматриваемая в пространствах Соболева, элементами которых являются векторные функции с носителями на n-мерных сетеподобных областях (n > 1). Полученные результаты могут использоваться при численном решении задач оптимального управления тепловыми и волновыми процессами в элементах конструкций из композитов.

AB - В работе указаны принципы построения сходящихся разностных схем и рассмотрен соответствующий им метод конечных разностей для анализа эллиптического уравнения в классе суммируемых функций с сетеподобным носителем. При этом не предполагается слабое решение краевой задачи, слабая разрешимость ее будет установлена с помощью метода конечных разностей. Исследование существенно опирается на некоторые свойства специальных соболевских пространств с конечной энергетической нормой. Свойства имеют общее значение, не связанное с особенностями той или иной краевой задачи, и, значит, определяют общий метод анализа решения этих задач. Предельные переходы осуществляются единообразно во всех задачах: если для приближений решения установлена равномерная ограниченность в норме специального пространства, то схема считается устойчивой в смысле метрики этого пространства, и тем самым открывается путь получения достаточных условий слабой сходимости семейства приближений, предельная функция есть слабое решение рассматриваемой задачи, причем можно выявить и условия сильной сходимости. Приведено решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения, но используется не само дифференциальное уравнение, а соответствующее ему интегральное тождество, и ищется аппроксимация последнего. Описанная идея может быть использована для уравнений параболического и гиперболического типов, хотя реализация ее несколько сложнее, однако значительно помогает то, что установлены аппроксимации их эллиптических частей. Предлагаемый метод конечных разностей применим с небольшими видоизменениями в случае параболических и других задач для векторных функций. Примером последнего в описании сетеподобных гидродинамических процессов служит линеаризованная система Навье — Стокса, рассматриваемая в пространствах Соболева, элементами которых являются векторные функции с носителями на n-мерных сетеподобных областях (n > 1). Полученные результаты могут использоваться при численном решении задач оптимального управления тепловыми и волновыми процессами в элементах конструкций из композитов.

KW - nеtwоrk-likе dоmаin

KW - stаbility in thе еnеrgy nоrm

KW - wеаk sоlvаbility

KW - еlliрtiс еquаtiоn

KW - соnvеrging diffеrеnсе sсhеmе

UR - https://www.mendeley.com/catalogue/a0e43e51-697a-389e-96d3-a2086d3186fe/

U2 - 10.21638/spbu10.2025.203

DO - 10.21638/spbu10.2025.203

M3 - статья

VL - 21

SP - 195

EP - 214

JO - ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

JF - ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА. ИНФОРМАТИКА. ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

SN - 1811-9905

IS - 2

ER -