В работе предлагается полное решение многомерной задачи оптимизации, сформулированной в терминах тропической (идемпотентной) математики. Сначала приводятся основные определения и результаты идемпотентной алгебры, необходимые для построения решения. Затем для целевой функции находится достижимая нижняя граница, которая связана с вычислением спектрального радиуса матрицы. Получено множество всех решений задачи многомерной тропической оптимизации, для чего рассматриваемая задача сводится к уже известной задаче. Для некоторых частных случаев сформулированы следствия из полученного результата. В качестве приложения рассматривается задача одноранговой аппроксимации положительных матриц, возникающая, например, в области машинного обучения, технического зрения и в статистике.