TY - JOUR

T1 - Об одном классе эллиптических краевых задач с параметром и разрывной нелинейностью

AU - Павленко, Вячеслав Николаевич

AU - Потапов, Дмитрий Константинович

N1 - В. Н. Павленко, Д. К. Потапов, “Об одном классе эллиптических краевых задач с параметром и разрывной нелинейностью”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:3 (2020), 168–184; Izv. Math., 84:3 (2020), 592–607

PY - 2020

Y1 - 2020

N2 - В ограниченной области изучается эллиптическая краевая задача с неоднородным граничным условием Дирихле, разрывной нелинейностью и положительным параметром, входящим в нелинейность мультипликативно. Нелинейность находится в правой части уравнения, равна нулю при неотрицательных значениях фазовой переменной и неположительна при отрицательных. Пусть u˜(x) – решение краевой задачи с нулевой правой частью уравнения (граничная функция предполагается положительной). Заменой v(x)=u(x)−u˜(x) исходная задача преобразуется к задаче с однородным краевым условием. Для нее v(x)=0 является решением при любом значении параметра. Значения параметра, при которых преобразованная задача имеет ненулевое решение, образуют спектр этой задачи. При некоторых дополнительных ограничениях строится итерационный процесс, который при определенном выборе начального приближения, сходится к минимальному полуправильному решению преобразованной задачи. Доказывается, что непустой спектр краевой задачи совпадает с лучом [λ∗,+∞), где λ∗>0. В качестве приложения рассматривается математическая модель Гольдштика об отрывных течениях несжимаемой жидкости. Для нее проверяется выполнение условий доказанной теоремы и устанавливается непустота спектра. Библиография: 37 наименований.

AB - В ограниченной области изучается эллиптическая краевая задача с неоднородным граничным условием Дирихле, разрывной нелинейностью и положительным параметром, входящим в нелинейность мультипликативно. Нелинейность находится в правой части уравнения, равна нулю при неотрицательных значениях фазовой переменной и неположительна при отрицательных. Пусть u˜(x) – решение краевой задачи с нулевой правой частью уравнения (граничная функция предполагается положительной). Заменой v(x)=u(x)−u˜(x) исходная задача преобразуется к задаче с однородным краевым условием. Для нее v(x)=0 является решением при любом значении параметра. Значения параметра, при которых преобразованная задача имеет ненулевое решение, образуют спектр этой задачи. При некоторых дополнительных ограничениях строится итерационный процесс, который при определенном выборе начального приближения, сходится к минимальному полуправильному решению преобразованной задачи. Доказывается, что непустой спектр краевой задачи совпадает с лучом [λ∗,+∞), где λ∗>0. В качестве приложения рассматривается математическая модель Гольдштика об отрывных течениях несжимаемой жидкости. Для нее проверяется выполнение условий доказанной теоремы и устанавливается непустота спектра. Библиография: 37 наименований.

KW - эллиптическая краевая задача

KW - задача с параметром

KW - разрывная нелинейность

KW - итерационный процесс

KW - минимальное решение

KW - полуправильное решение

KW - спектр

KW - модель Гольдштика

UR - http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=8847&option_lang=rus

M3 - статья

VL - 84

SP - 168

EP - 184

JO - ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. СЕРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

JF - ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. СЕРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

SN - 1607-0046

IS - 3

ER -