TY - JOUR

T1 - О методе Монте-Карло для решения больших систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

AU - Ермаков, Сергей Михайлович

AU - Смиловицкий, Максим Григорьевич

N1 - Ермаков, С. М., & Смиловицкий, М. Г. (2021). О методе Монте-Карло для решения больших систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия, 8(1), 37-48. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.104

PY - 2021

Y1 - 2021

N2 - Монте-Карло к решению задачи Коши для больших систем линейных дифференциальных уравнений. В первой части статьи дается краткий обзор уже известных результатов применения метода для решения интегральных уравнений Фредгольма. В основной части статьи разбирается применение подхода к системе линейных ОДУ, которая приводится к эквивиалентной системе интегральных уравнений Вольтерра. Это позволяет снять ограничения, связанные со сходимостью мажорантного процесса. Формулируются следующие ключевые теоремы. Теорема 1 указывает требуемые условия согласования, которым должны отвечать переходная и начальная плотности распределения, инициирующие соответствующую цепь Маркова, для которой выполняется равенство между математическим ожиданием оценки и интересующим нас функционалом. Теорема 2 формулирует выражение для дисперсии оценки, в то время как теорема 3 указывает параметры цепи Маркова, минимизирующие значение дисперсии для оценки функционала. В работе приводятся доказательства всех трех теорем. В практической части предложенный метод применяется к системе линейных ОДУ, описывающих замкнутую систему массового обслуживания из десяти условных машин и семи условных рабочих. Решение приводится как для системы с постоянной матрицей коэффициентов, так и для системы с переменной матрицей, где в зависимости от времени меняется интенсивноcть выхода машин из строя. Также произведено сравнение решения методом Монте-Карло с решением методом Рунге - Кутта. Все результаты отражены в таблицах.

AB - Монте-Карло к решению задачи Коши для больших систем линейных дифференциальных уравнений. В первой части статьи дается краткий обзор уже известных результатов применения метода для решения интегральных уравнений Фредгольма. В основной части статьи разбирается применение подхода к системе линейных ОДУ, которая приводится к эквивиалентной системе интегральных уравнений Вольтерра. Это позволяет снять ограничения, связанные со сходимостью мажорантного процесса. Формулируются следующие ключевые теоремы. Теорема 1 указывает требуемые условия согласования, которым должны отвечать переходная и начальная плотности распределения, инициирующие соответствующую цепь Маркова, для которой выполняется равенство между математическим ожиданием оценки и интересующим нас функционалом. Теорема 2 формулирует выражение для дисперсии оценки, в то время как теорема 3 указывает параметры цепи Маркова, минимизирующие значение дисперсии для оценки функционала. В работе приводятся доказательства всех трех теорем. В практической части предложенный метод применяется к системе линейных ОДУ, описывающих замкнутую систему массового обслуживания из десяти условных машин и семи условных рабочих. Решение приводится как для системы с постоянной матрицей коэффициентов, так и для системы с переменной матрицей, где в зависимости от времени меняется интенсивноcть выхода машин из строя. Также произведено сравнение решения методом Монте-Карло с решением методом Рунге - Кутта. Все результаты отражены в таблицах.

UR - https://math-mech-astr-journal.spbu.ru/article/view/10900

M3 - статья

VL - 8

SP - 37

EP - 38

JO - ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ

JF - ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ

SN - 1025-3106

IS - 1

ER -