TY - JOUR

T1 - О численном решении систем линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленными матрицами

AU - Лебедева, А.В.

AU - Рябов, В.М.

N1 - Лебедева А. В., Рябов В. М. О численном решении систем линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленными матрицами // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6 (64). Вып. 4. С. 619–626. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.407

PY - 2019

Y1 - 2019

N2 - Рассматриваются системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Если матрица системы невырождена, то существует единственное решение системы. В вырожденном случае система может не иметь решения или иметь бесконечно много решений. В этом случае вводится понятие нормального решения. Случай невырожденной квадратной матрицы теоретически можно считать хорошим в смысле существования и единственности решения. Однако в теории вычислительных методов невырожденные матрицы подразделяют на две категории: «плохо обусловленные» и «хорошо обусловленные». Плохо обусловленными называют матрицы, для которых решение системы уравнений практически является неустойчивым. Одной из важных характеристик практической устойчивости решения системы линейных уравнений является число обусловленности. Обычно для получения надежного решения используют методы регуляризации. Общей стратегией является использование стабилизатора Тихонова или его модификаций, либо представление искомого решения в виде ортогональной суммы двух векторов, один из которых определяется устойчиво, а для поиска второго необходима некая процедура стабилизации. В настоящей статье рассматриваются методы численного решения СЛАУ с положительно определенной симметричной матрицей или с матрицей осцилляционного типа с использованием регуляризации, приводящие к СЛАУ с уменьшенным числом обусловленности.

AB - Рассматриваются системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Если матрица системы невырождена, то существует единственное решение системы. В вырожденном случае система может не иметь решения или иметь бесконечно много решений. В этом случае вводится понятие нормального решения. Случай невырожденной квадратной матрицы теоретически можно считать хорошим в смысле существования и единственности решения. Однако в теории вычислительных методов невырожденные матрицы подразделяют на две категории: «плохо обусловленные» и «хорошо обусловленные». Плохо обусловленными называют матрицы, для которых решение системы уравнений практически является неустойчивым. Одной из важных характеристик практической устойчивости решения системы линейных уравнений является число обусловленности. Обычно для получения надежного решения используют методы регуляризации. Общей стратегией является использование стабилизатора Тихонова или его модификаций, либо представление искомого решения в виде ортогональной суммы двух векторов, один из которых определяется устойчиво, а для поиска второго необходима некая процедура стабилизации. В настоящей статье рассматриваются методы численного решения СЛАУ с положительно определенной симметричной матрицей или с матрицей осцилляционного типа с использованием регуляризации, приводящие к СЛАУ с уменьшенным числом обусловленности.

KW - система линейных алгебраических уравнений

KW - некорректные задачи

KW - плохо обусловленные задачи

KW - число обусловленности

KW - метод регуляризации

KW - a system of linear algebraic equations

KW - ill-posed problems

KW - ill-conditioned problems

KW - condition number

KW - regularization method

UR - http://vestnik.spbu.ru/html19/s01/s01v4/08.pdf

M3 - статья

VL - 6(64)

SP - 619

EP - 626

JO - ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ

JF - ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ

SN - 1025-3106

IS - 4

ER -