Пусть O⊂Rd – ограниченная область с границей класса C1,1. В пространстве L2(O;Cn) рассматривается самосопряженный матричный эллиптический дифференциальный оператор BD,ε, 0<ε⩽1, второго порядка при условии Дирихле на границе. Старшая часть оператора задана в факторизованной форме. Оператор включает члены первого и нулевого порядков. Оператор BD,ε положительно определен; его коэффициенты периодичны и зависят от x/ε. Изучается поведение при ε→0 операторной экспоненты e−BD,εt, t>0. Получены аппроксимации для e−BD,εt по операторной норме в L2(O;Cn) и по норме операторов, действующих из L2(O;Cn) в класс Соболева H1(O;Cn). Результаты применяются к усреднению решений первой начально-краевой задачи для параболических систем.