Мы рассматриваем три независимых объекта: двустороннюю стационарную случайную последовательность $\boldsymbol{\xi} := (\ldots, \xi_{-1}, \xi_0, \xi_{1}, \ldots)$ с нулевым средним и конечной дисперсией, стандартный пуассоновский процесс $\Pi$ и субординатор $S$ --- неубывающий процесс Леви. Методом отражения относительно нулевого момента времени мы продолжаем $\Pi$ и $S$ на отрицательную полуось и определяем случайную замену времени $\Pi(S(t))$, $t\in\mathbb R$. Затем мы определяем так называемый ПСИ-процесс $\psi(t) := \xi_{\Pi(S(t))}$, $t\in\mathbb R$, который стационарен в широком смысле. Заметим, что ПСИ-процессы обобщают псевдо-пуассоновские процессы. Основная задача работы --- выразить спектральные свойства процесса $\psi$ через спектральные характеристики последовательности $\boldsymbol{\xi}$ и меру Леви субординатора $S$. Применяя методы комплексного анализа, мы выводим общую формулу для спектральной меры $G$ процесса $\psi$. Также мы находим точные значения для спектральных характеристик $\psi$ в примерах, когда $\boldsymbol{\xi}$: почти периодическая последовательность; последовательность скользящего среднего конечного порядка; авторегрессия конечного порядка. Полученные результаты могут иметь приложения во всех областях, где применяются стационарные случайные процессы в рамках $L^2$-теории.