TY - JOUR

T1 - Усреднение уравнений типа Шрёдингера: операторные оценки при учете корректоров

AU - Суслина, Татьяна Александровна

N1 - Т. А. Суслина, “Усреднение уравнений типа Шрёдингера: операторные оценки при учете корректоров”, Функц. анализ и его прил., 56:3 (2022), 93–99

PY - 2022

Y1 - 2022

N2 - В $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряженный эллиптический дифференциальный оператор $A_\varepsilon$ второго порядка. Предполагается, что коэффициенты оператора $A_\varepsilon$ периодичны и зависят от $\mathbf x/\varepsilon$, где $\varepsilon>0$ - малый параметр. Изучается поведение операторной экспоненты $e^{-iA_\varepsilon\tau}$ при малом $\varepsilon$ и $\tau\in\mathbb{R}$. Результаты применяются к исследованию поведения решения задачи Коши для уравнения типа Шрeдингера $i\partial_\tau \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf x,\tau)=-(A_\varepsilon{\mathbf u}_\varepsilon)(\mathbf x,\tau)$ с начальными данными из специального класса. При фиксированном $\tau$ и $\varepsilon\to0$ решение ${\mathbf u}_\varepsilon(\cdot,\tau)$ сходится в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ к решению усредненной задачи; погрешность имеет порядок $O(\varepsilon)$. Получены аппроксимации решения ${\mathbf u}_\varepsilon(\cdot,\tau)$ в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon^2)$ и в $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon)$. В этих аппроксимациях учитываются корректоры. Отслежена зависимость погрешностей от $\tau$.

AB - В $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряженный эллиптический дифференциальный оператор $A_\varepsilon$ второго порядка. Предполагается, что коэффициенты оператора $A_\varepsilon$ периодичны и зависят от $\mathbf x/\varepsilon$, где $\varepsilon>0$ - малый параметр. Изучается поведение операторной экспоненты $e^{-iA_\varepsilon\tau}$ при малом $\varepsilon$ и $\tau\in\mathbb{R}$. Результаты применяются к исследованию поведения решения задачи Коши для уравнения типа Шрeдингера $i\partial_\tau \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf x,\tau)=-(A_\varepsilon{\mathbf u}_\varepsilon)(\mathbf x,\tau)$ с начальными данными из специального класса. При фиксированном $\tau$ и $\varepsilon\to0$ решение ${\mathbf u}_\varepsilon(\cdot,\tau)$ сходится в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ к решению усредненной задачи; погрешность имеет порядок $O(\varepsilon)$. Получены аппроксимации решения ${\mathbf u}_\varepsilon(\cdot,\tau)$ в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon^2)$ и в $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon)$. В этих аппроксимациях учитываются корректоры. Отслежена зависимость погрешностей от $\tau$.

KW - периодические дифференциальные операторы

KW - усреднение

KW - операторные оценки погрешности

KW - уравнения типа Шрёдингера

UR - http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=faa&paperid=4019&option_lang=rus

UR - https://www.mendeley.com/catalogue/ffc61dac-283f-38da-8e9c-2c35ab706ef1/

U2 - 10.4213/faa4019

DO - 10.4213/faa4019

M3 - статья

VL - 56

SP - 93

EP - 99

JO - ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

JF - ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

SN - 0374-1990

IS - 3

ER -