В работе рассматриваются одномерные марковские процессы специального вида, которые являются процессами Леви, принимающими значения на конечном интервале и отражающимися от граничных точек. Показано, что в этом случае кроме стандартной полугруппы операторов, порожденных марковским процессом, возникает еще семейство “граничных” случайных операторов, переводящих функции, заданные на границе интервала, в элементы пространства <nobr>$L_2$</nobr> на всем интервале. В случае, когда исходный процесс является винеровским, эти операторы выражаются через локальное время процесса на границе интервала.