Для зоны вероятностей умеренных уклонений в работе указываются нижние границы в асимптотически эффективном доверительном оценивании и проверке гипотез. Они являются расширением на зону вероятностей умеренных уклонений локально асимптотически минимаксных нижних границ Гайека-Ле Кама в теории статистического оценивания и нижних границ асимптотической эффективности по Питману в проверке гипотез. Результаты охватывают случай логарифмической и точной асимптотики вероятностей умеренных уклонений.