Статья содержит развитие теоретических основ первого метода Ляпунова. В ней дается описание семейства инвариантных преобразований линейных систем дифференциальных уравнений. Эти преобразования позволяют строить в новых переменных системы дифференциальных уравнений, которые обладают теми же характеристиками (характеристичными числами, свойством правильности), что и исходные уравнения. Подробно исследуется структура и свойства матриц коэффициентов этих преобразований. Исследования проводятся на основе изучения свойств характеристичных чисел функциональных матриц. Выделен класс не особых квадратных матриц. Основанием для включения любой матрицы в этот класс является выполнение равенства нулю суммы характеристичных чисел матрицы и ей обратной. Такие матрицы названы абсолютно правильными. Установлена связь характеристичного числа абсолютно правильной матрицы с ее определителем. Доказано, характеристичные числа столбцов и строк такой матрицы одинаковы, и их значения совпадают с ее характеристичным числом. The arti