Пусть на единичной окружности независимо друг от друга поставлено n случайных точек с равномерным распределением. Образуем выпуклый случайный n-угольник с вершинами в указанных точках. Какова его средняя площадь и средний периметр? Вопрос о средней площади был решен К. Брауном, здесь вычисляется значение среднего периметра. Попутно обсуждается вопрос о скорости сходимости этого выражения к пределу. Найдена также средняя длина суммы квадратов длин случайного вписанного треугольника.