Систематически излагаются свойства интегралов 1 x Pn0(x)= Pn(x),Pnk(x)= Pn,k−1(y)dy −1 от многочлена Лежандра Pn(x) на основном промежутке −1 x 1. Определена производящая функция ∞2 )k−1/2 n+k(1−2xz + z = Qk(x,z)+(−1) k(2k −1)!! M Pnk(x)z, n=k где Q0 =0, а при k> 0 величина Qk -многочлен степени 2k−1 по каждой из переменных x,z. Выведено дифференциальное уравнение второго порядка, получен аналог формулы Родрига и определена асимптотика при n →∞. Доказано представление Pnk(x)=(x 2 −1) kfnk(x), если и только если n k, где fnk -некоторый многочлен, не делящийся на x − 1. Основной результат состоит в получении точной оценки Ak|Pnk(cosθ)|<sin k−1/2 θ, n k. νk+1/2 Здесь √ ν 2 = (n + 1) 2 −(k 2 − 1) (1− 4 ) ,Ak = tkJk(tk)∼ µ1k 1/6 ,µ1 =0.674885,24π2 √ где tk -первый максимум функции tJk(t) на полуоси t> 0, Jk(t)-функция Бесселя. Приведем таблицу первых Ak и разностей Ak −µ1k 1/6: k 123456 Ak 0.8250 0.8684 0.9024 0.9305 0.9545 0.9757 Ak −µ1k1/6 0.1501 0.1109 0.0919 0.0802 0.0720 0.0659