Рассматривается задача Эленбааса образования электрического разряда. Математическая модель представляет собой эллиптическую краевую задачу с параметром и разрывной нелинейностью. Нетривиальные решения задачи определяют свободные границы, разделяющие различные фазовые состояния. Дается обзор результатов, полученных для данной задачи. Устанавливается оценка снизу для точной нижней грани λmin значений параметра λ, при которых возможен электрический разряд. Доказывается появление области разряда при любом λ⩾λmin. Выделен диапазон значений параметра, при которых граница области разряда имеет двумерную меру Лебега, равную нулю. Приводится формулировка нерешенной задачи.