TY - JOUR

T1 - Спектр прямоугольных решеток квантовых волноводов

AU - Назаров, Сергей Александрович

PY - 2017

Y1 - 2017

N2 - Получены асимптотические формулы для спектральных сегментов тонкой (h≪1) прямоугольной решетки квантовых волноводов, описываемой задачей Дирихле для оператора Лапласа. Установлено, что общепринятая модель квантового графа с традиционными условиями Кирхгофа в узлах дает неправильное представление о строении спектра решетки. Оказывается, длины спектральных сегментов являются бесконечно малыми O(e−δ/h), δ>0, и O(h) при h→+0, и между ними возникают лакуны с шириной O(h−2) и O(1) соответственно в низко- и среднечастотных диапазонах спектра. Первый спектральный сегмент порожден (единственным) собственным числом в дискретном спектре бесконечного крестообразного волновода Θ. Проверенное отсутствие ограниченных решений у задачи в Θ на пороговой частоте означает, что правильная модель решетки – граф с условиями Дирихле в узлах, распадающийся на два бесконечных набора идентичных звеньев–отрезков. При помощи возмущений конечного набора перемычек построены точки дискретного спектра решетки в любом заданном наперед количестве как ниже существенного спектра, так и внутри лакун.

AB - Получены асимптотические формулы для спектральных сегментов тонкой (h≪1) прямоугольной решетки квантовых волноводов, описываемой задачей Дирихле для оператора Лапласа. Установлено, что общепринятая модель квантового графа с традиционными условиями Кирхгофа в узлах дает неправильное представление о строении спектра решетки. Оказывается, длины спектральных сегментов являются бесконечно малыми O(e−δ/h), δ>0, и O(h) при h→+0, и между ними возникают лакуны с шириной O(h−2) и O(1) соответственно в низко- и среднечастотных диапазонах спектра. Первый спектральный сегмент порожден (единственным) собственным числом в дискретном спектре бесконечного крестообразного волновода Θ. Проверенное отсутствие ограниченных решений у задачи в Θ на пороговой частоте означает, что правильная модель решетки – граф с условиями Дирихле в узлах, распадающийся на два бесконечных набора идентичных звеньев–отрезков. При помощи возмущений конечного набора перемычек построены точки дискретного спектра решетки в любом заданном наперед количестве как ниже существенного спектра, так и внутри лакун.

UR - https://www.elibrary.ru/item.asp?id=28172112

M3 - статья

VL - 81

SP - 31

EP - 92

JO - ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. СЕРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

JF - ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. СЕРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

SN - 1607-0046

IS - 1

ER -