Разработанная на предыдущем этапе схема расчета вероятностей рождения пар, основанная на численном решении уравнения Дирака, дополнена процедурой удаления шпуриозных состояний в рамках обобщенного псевдоспектрального метода. Кроме того, нами была реализована процедура приближенного вычисления соответствующих вероятностей с использованием метода мнимого времени. Данный подход ранее успешно использовался в задачах ионизации и рождения электрон-позитронных пар в сильных электромагнитных полях без дополнительного кулоновского центра. Основным преимуществом данного метода является то, что он предоставляет относительно простой алгоритм, позволяющий получать аналитические выражения для спектров и вероятностей ионизации или в нашем случае рождения пар для ряда различных конфигураций внешнего поля. Так же он предлагает наглядный способ учета влияния кулоновского поля ядра на волновую функцию вылетающего электрона (позитрона), которое отсутствует в стандартном приближении сильного поля. В рамках метода мнимого времени дифференциальная скорость ионизации определяется мнимой частью классического действия частицы, вычисленного на экстремальной подбарьерной траектории. Такая траектория является решением классического уравнения движения с комплексным временем, так как движение под потенциальным барьером запрещено в классической механике.

Для исследования вакуумного двулучепреломления в области больших энергий пробного фотона требовалось в первую очередь выйти за рамки приближения локально постоянного поля (LCFA). Часть необходимых численных процедур была уже развита в ходе реализации первого этапа проекта. Как было явно показано в работе [Александров, Шабаев, Оптика и спектроскопия 129, 932 (2021)], метод LCFA перестает быть точным, когда энергия пробного фотона или частота фонового лазерного поля превышают энергию покоя электрона. В связи с этим обстоятельством потребовалось разработать подход, точно учитывающий пространственно-временную зависимость внешнего поля. При расчете поляризационного оператора во внешнем поле один из интегралов удалось вычислить в терминах замкнутых аналитических выражений, что позволило существенно ускорить проведение численных расчетов. Для улучшения сходимости результатов была использована схема вычитания, основанная на использовании пропагаторов с большой массой электрона. Теоретическое обоснование применимости данной схемы напрямую связано с тем фактом, что расчет диаграммы не требует вычитания так называемых шпуриозных вкладов. Отсутствие этих вкладов в рамках задачи об излучении фотонов во внешнем поле было явно показано в работе [I. A. Aleksandrov, G. Plunien, V. M. Shabaev, Phys. Rev. D 100, 116003 (2019)]. При исследовании процесса вакуумного двулучепреломления возможные шпуриозные слагаемые имеют в точности такой же вид, что позволяет опираться на полученные ранее результаты. Более того, описание процесса излучения фотонов посредством вычисления диаграммы типа "головастик" оказалось полностью эквивалентным вычислению поляризационного оператора в рамках рассмотренных моделей. Развитие методов будет продолжено в ходе реализации третьего этапа проекта и позволит рассмотреть другие конфигурации внешнего поля, также включающие зависимость от координат и времени.

Реализованы три различных способа дла расчета функция локализации электронов (ELF). В первом полностью нерелятивистском методе были использованы нерелятивистский метод Хартри-Фока и нерелятивистское выражение для ELF, полученное ранее в работе [Becke et.al, J. Chem. Phys. 92, 5397 (1990)]. Во втором полурелятивистском подходе было использовано нерелятивистское выражение для ELF, куда были подставлены релятивистские волновые функции и плотности, полученные методом Дирака-Фока. Именно в полурелятивистском приближении в работе [Jerabek et al, Phys. Rev. Lett. 120, 053001 (2018)] и в нашей работе [Kaygorodov et al, Proceedings of Science, 353, 36 (2018)] были рассчитаны ранее ELF для атома Og. Релятивистское выражение для ELF, полученное в ходу работы над проектом, было использовано в третьем, полностью релятивистском методе. Расчеты основных конфигураций нейтральных атомов и ионов СТЭ были выполнены разработанным в нашей группе методом DFS-CI+MBPT. В качестве гамильтониана системы использовался гамильтониан Дирака-Кулона-Брейта. QED поправки вычислялись с использованием одночастичного QEDMOD потенциала, также разработанного в нашей группе.

Были реализованы программно два алгоритма вычисления параметров резонансных состояний, возникающих в стационарном уравнении Дирака при добавлении к кулоновскому полю ядра внешнего однородного магнитного поля. Разработанные алгоритмы позволяют получать как положения, так и ширины резонансов в широком диапазоне амплитуд внешнего поля. Оба алгоритма основаны на использовании метода комплексного вращения радиальной координаты. При таком преобразовании волновые функции резонансных состояний становятся квадратично интегрируемыми, что позволяет проводить дискретизацию стационарного уравнения Дирака при помощи конечных базисных наборов и сводить задачу о вычислении параметров резонанса к задачам линейной алгебры. Использованные методы отличаются друг от друга выбором базисного набора для дискретизации уравнения Дирака. Наличие двух разных алгоритмов позволяет контролировать точность и надежность получаемых результатов.

Эффект ядерного сверхтонкого смешивания связывает вероятность перехода между основным и изомерным состояниями ядра со спектром электронных состояний, в том числе, с g-фактором, который может быть определен с очень высокой точностью, как в теории, так и в эксперименте. Были получены самые точные на сегодняшний день значения для сверхтонкого расщепления и g-фактора в водородо-, литие- и бороподобных ионах тория-229. В рамках развитых ранее методов были учтены КЭД, корреляционные и ядерные эффекты, в том числе эффект Бора-Вайскопфа и поправка на ядерное магнитное экранирование. Частично были использованы опубликованные ранее данные для отдельных вкладов. Также были выведены формулы для вероятностей электронных переходов между компонентами сверхтонкой структуры с учетом смешивания и выполнены численные расчеты. Результаты опубликованы в работе [Shabaev et al., Phys. Rev. Lett. 128, 043001 (2022)]. Показано, что вероятность ядерного перехода может быть получена с точностью на уровне процента с учетом достигнутой на сегодня точность теории и эксперимента по g-фактору.