В данном проекте методы квантовой теории поля применяются к задачам статистической физики, а именно к некоторым моделям неравновесного критического поведения.
Квантовая теория поля является одной из интереснейших областей теоретической физики. Ее предсказания неоднократно подтверждались в ходе различных экспериментов, наиболее важным из которых является открытие бозона Хиггса на Большом адронном коллайдере. Расчеты в моделях квантовой теории поля требуют вычисления т. н. фейнмановских диаграмм, что представляет собой непростую техническую задачу.
Несмотря на различие в подходах, многие модели статистической физики являются по факту моделями квантовой теории поля (например, классические модели фи^3 и фи^4) либо сводятся к ним (например, стохастические дифференциальные уравнения типа Навье-Стокса, Кардара-Паризи-Занга, Хуа-Кардара и т. д.). Это обстоятельство дает возможность применять хорошо разработанные методы квантовой теории поля (техники вычисления фейнмановских диаграмм, ренормировку и ренормализационную группу, операторное разложение и т. д.) к разнообразным моделям критического поведения и другим задачам статистической физики.
Важной особенностью сильно неравновесных систем является то, что многие из них демонстрируют сингулярное поведение, в некоторых отношениях подобное критическому поведению равновесных околокритических систем (скейлинг, универсальность). Такое поведение типично для случайных блужданий в случайной среде, диффузии и перколяции в пористых средах, а также для процессов роста в различных физических системах – затвердевания, фронтов дыма и пламени, коллоидных агрегатов, опухолей и т. д. Наиболее важными измеримыми параметрами, характеризующими поведение критических систем, являются критические индексы. При этом корреляционные функции системы вблизи критической точки обладают свойством скейлинга (самоподобия) и часто зависят только от универсальных глобальных характеристик (размерности пространства и т.д.), а все поведение системы в целом делится на т. н. классы универсальности – типы скейлингового поведения системы, наблюдаемые при определенных значениях параметров.
В квантовополевом подходе классы универсальности и определяемые ими критические индексы ассоциируются с неподвижными точками уравнений ренормализационной группы и вычисляются в рамках систематического разложения по ε = d* − d, т. е. отклонению размерности пространства d от ее логарифмического значения d*.
В ходе реализации проекта с помощью методов квантовой теории поля (функционального интегрирования, вычисления фейнмановских диаграмм и ренормализационной группы) были исследованы некоторые модели неравновесного динамического критического поведения, а именно модель Кардара-Паризи-Занга, описывающая случайно растущую границу раздела фаз, и модель Хуа-Кардара, обладающая анизотропией, при учете движения среды. Движение среды моделировалось как с помощью стохастического уравнения Навье-Стокса, так и с помощью синтетических ансамблей Казанцева-Крейчнана (изотропный ансамбль) и Авельянеда-Майда (анизотропный ансамбль). Были установлены возможные классы универсальности в каждой из рассмотренных моделей и вычислены явно критические индексы для всех полей и параметров.
При изучении влияния изотропного поля скорости на анизотропную по построению модель Хуа-Кардара было установлено наличие обобщенного скейлинга, что означает, что масштабному преобразованию подвергаются не только временные и пространственные переменные, но также и некоторые параметры. А при изучении модели Хуа-Кардара с анизотропным ансамблем скорости, но замороженным (т.е. не зависящим от времени) случайным шумом в самом уравнении Хуа-Кардара, было обнаружено, что существует такая область значений глобальных параметров, в которой сразу несколько неподвижных точек уравнения ренормализационной группы являются инфракрасно-притягивающими. Такое пересечение областей устойчивости различных точек означает, что критическое поведение системы зависит не только от глобальных параметров системы, но также и от начальных данных зарядов (констант связи), которые определяют, какая именно неподвижная точка будет достигнута ренормгрупповым потоком. Как следствие, такая система является неуниверсальной. Системы такого типа известны, но встречаются крайне редко.
При исследовании модели Кардара-Паризи-Занга в случае, когда поле скорости описывается стохастическим уравнением Навье-Стокса, установлено наличие шести возможных классов универсальности. А при описании поля скорости с помощью ансамбля Казанцева-Крейчнана, но с замороженным случайным шумом в самом уравнении Кардара-Паризи-Занга, установлено, что из-за нарушения Галилеевой симметрии индуцируется дополнительный нелинейный вклад, квадратичный по полю скорости и необходимый для ренормируемости модели.
Кроме того, используя недавно полученные 6-петлевые ответы для O(n)-симметричной фи^4 модели с тензорным параметром порядка, было показано, что результаты пересуммирования, полученные с помощью методов Паде-Бореля и Борель-Лероя, находятся в качественном согласии друг с другом. Также установлено, что наиболее стабильные и достоверные результаты получаются в случае быстро расходящихся рядов.
В ходе реализации проекта получены следующие результаты:
- исследована модель самоорганизованной критичности Хуа-Кардара при учете турбулентного движения среды, моделируемого с помощью анизотропного статистического ансамбля Авельянеды и Майда с конечным временем корреляции. В качестве случайного шума в стохастическом уравнении Хуа-Кардара использовался как независящий от времени (замороженный) случайный шум, так и белый шум. Установлено, что тип случайной силы в уравнении Хуа-Кардара играет ключевую роль: в отличие от модели с белым шумом, которая обладает тремя возможными классами универсальности, модель с замороженным шумом обладает четырьмя классами, причем области устойчивости некоторых из них пересекаются. Пересечение областей устойчивости означает, что критическое поведение системы зависит не только от глобальных параметров системы (размерности пространства и т. д.), но также и от начальных данных зарядов (констант связи), которые определяют, какая именно неподвижная точка будет достигнута ренормгрупповым потоком. Как следствие, такое поведение является неуниверсальным. Системы такого типа известны, но встречаются крайне редко.
- Исследована модель Кардара-Паризи-Занга, описывающая случайно растущую границу раздела фаз, при учете движения окружающей среды. Движение среды описывалось стохастическим уравнением Навье-Стокса с коррелятором случайной силы, позволяющим в рамках одной модели описывать как турбулентное движение среды, так и жидкость в тепловом равновесии. Установлено, что инфракрасное асимптотическое поведение системы делится на шесть неравновесных классов универсальности, связанных с найденными неподвижными точками уравнений ренормгруппы. Наиболее интересные с физической точки зрения случаи, соответствующие пространству размерностей d=2 или d=3, отвечают классу универсальности чистого турбулентного переноса, в котором нелинейность исходного уравнения Кардара-Паризи-Занга является несущественной.
- Исследована анизотропная модель самоорганизованной критичности Хуа-Кардара при учете турбулентного движения среды. Движение среды моделировалось изотропным статистическим ансамблем Казанцева-Крейчнана – гауссовым ансамблем с нулевым временем корреляции и корреляционной функцией вида 1/k^{d+xi}, где k является волновым числом, d – размерностью пространства, а xi – произвольным параметром, наиболее реалистичными значениями которого являются 4/3 (Колмогоровская турбулентность) и 2 (Бэтчелоровский предел). Установлено наличие четырех инфракрасно-притягивающих неподвижных точек, определяющих соответствующие классы универсальности. Также установлено, что в зависимости от того, какие члены в действии системы (анизотропный, изотропный или оба) являются существенными в конкретном классе универсальности, скейлинговое поведение может быть как обыкновенным, так и обобщенным, что означает, что масштабному преобразованию подвергаются не только временные и пространственные переменные, но также и некоторые параметры.
- Исследована модель Кардара-Паризи-Занга с замороженным случайным шумом при учете воздействия турбулентной среды, описываемой статистическим ансамблем поля скорости Казанцева-Крейчнана. В такой модели из-за нарушения Галлилеевой симметрии индуцируется дополнительный нелинейный вклад, квадратичный по полю скорости и необходимый для ренормируемости модели. Оказывается, что эта индуцированная нелинейность сильно влияет на скейлинговое поведение в некоторых классах универсальности, даже когда турбулентная адвекция представляется несущественной сама по себе. В модифицированной модели найдено 7 неподвижных точек уравнений ренормгруппы, при этом две неподвижные точки отвечают пределу бесконечной константы связи нового вклада. Наиболее интересные с физической точки зрения случаи, соответствующие пространству размерностей d=2 или d=3, а также положительному значению показателя xi, входящего в коррелятор поля скорости, отвечают классам универсальности, в которых турбулентный перенос и нелинейность уравнения Кардара-Паризи-Занга существенны одновременно. При этом при некоторых значениях xi система описывается режимом с бесконечной константой связи нового вклада. Также установлено, что режим чистого турбулентного переноса не реализуется ни при каких значениях параметров системы.
- Ренормгрупповые функции O(n)-симметричной фи^4 модели с тензорным параметром порядка исследованы с помощью двух методов пересуммирования асимптотических рядов: метода Паде-Бореля и метода Борель-Лероя с конформным отображением. В настоящий момент обсуждаемые разложения известны до шестого порядка теории возмущений по константам связи включительно, что предоставляет отличную площадку для изучения стабильности техник пересуммирования, основанных на преобразовании Бореля-Лероя, в случае мультизарядных моделей. С помощью двух упомянутых методов пересуммирования были получены координаты неподвижных точек, а также изучена их инфракрасная устойчивость в рамках эпсилон разложения. Для неподвижной точки, оказавшейся инфракрасно-притягивающей, вычислена критическая размерность парного коррелятора. Результаты, полученные с помощью обоих методов, находятся в качественном согласии друг с другом, однако количественно различаются уже на уровне второй значащей цифры. Кроме того, показано что наиболее стабильные и достоверные результаты получены в случае быстро расходящихся рядов. Также пертурбативные разложения бета-функций в ряд по константам связи пересуммированы напрямую. Показано, что в размерности d=3 результаты прямого пересуммирования качественно согласуются с результатами пересуммирования эпсилон разложений, в то время как в размерности d=2 отсутствует даже качественное согласие.
- Рассмотрена модель переноса поперечного векторного (магнитного) поля с наиболее общей формой нелинейности (т. н. А-модель) турбулентным течением сильно сжимаемой жидкости. Движение жидкости описывалось стохастическим уравнением Навье-Стокса. Установлено, что полная стохастическая задача эквивалентна некоторой ренормируемой теоретико-полевой модели, обладающей инфракрасно-притягивающей неподвижной точкой. Тем самым установлено (определено) скейлинговое поведение на больших расстояниях и интервалах времени. Однако в силу сокращения нетривиальных вкладов, отвечающих однопетлевому приближению 3-точечной корреляционной функции, вопрос о том, устремляется ли параметр А в некоторое определенное значение в неподвижной точке уравнений ренормгруппы или остается произвольным, не может быть разрешен в рамках рассматриваемого однопетлевого приближения.
- С помощью метода квантовополевой ренормгруппы исследовалась модель самоорганизованной критичности Хуа-Кардара при учете турбулентного движения среды, описываемого стохастическим уравнением Навье-Стокса. При этом коррелятор случайной силы, входящий в уравнение, содержит два вклада: нелокальный вклад, отвечающий турбулентному перемешиванию, и вклад, моделирующий встряхивание всей системы как целого (белый шум). Задача рассматривалась вблизи размерности пространства d=4. В результате соединения анизотропной модели Хуа-Кардара с изотропным уравнением Навье-Стокса в действии, эквивалентном полной стохастической задаче, возникло два безразмерных отношения, которые необходимо рассматривать наравне с другими константами взаимодействия. Это привело к возникновению сложной системы бета-функций, в результате анализа которой был обнаружен Гауссов режим, а также режимы турбулентного перемешивания, в которых нелинейность уравнения Хуа-Кардара не существенна и восстанавливается изотропия задачи.
- Исследована модель Кардара-Паризи-Занга с замороженным (не зависящим от времени) случайным шумом при условии турбулентного перемешивания среды, описываемого стохастическим уравнением Навье-Стокса. Коррелятор случайной силы в уравнении Навье-Стокса содержит как нелокальный вклад, так и вклад, моделирующий встряхивание всей системы как целого. Анализ ультрафиолетовых расходимостей 1-неприводимых функций Грина показал, что действие, отвечающее стохастической задаче, не является ренормируемым, что является прямым следствием нарушения симметрии уравнения Кардара-Паризи-Занга замороженным шумом. Включение в действие вклада, квадратичного по полю скорости, модифицирует рассматриваемую модель и делает ее ренормируемой.
