Линеаризация - один из основных методов анализа нелинейных систем, используемых в инженерной практике. Однако известные теоретические результаты дают излишне консервативные оценки области асимптотической устойчивости. В случае систем с запаздыванием проблема дополнительно осложняется вопросом выбора подходящей нормы состояния, которая позволяет не только доказать устойчивость, но и допускает физическую интерпретацию. В этой ситуации на практике часто прибегают к эмпирическим соображениям, основанным на компьютерной симуляции системы. Поэтому актуальной является задача создания практически значимых конструктивных алгоритмов оценки области притяжения, которые имели бы теоретическое обоснование.
Задержки в отклике системы на внешние воздействия, а также во взаимодействиях частей системы между собой, как правило, негативно сказываются на качестве ее работы. Кроме того, анализ таких систем представляет теоретические сложности. Данное исследование ставит целью разработку новых методов численного анализа, которые были бы полезны инженерам, желающим оценивать область устойчивости запаздывающей системы, т.е. диапазон, в котором система функционирует согласно нормальному режиму. Для этого исследуются специальные классы систем, которые часто встречаются на практике, и подходы, основанные на приближении системы ее более простой моделью.
В качестве первого объекта исследования были выбраны системы с запаздыванием в нелинейной части. В этом случае линеаризация не имеет запаздывания. Были получены оценки решений нелинейной системы, когда нелинейность носит стабилизирующий и дестабилизирующий характер. В этих специальных случаях удается построить оценки области притяжения на основе функций Ляпунова. Вероятно, этот подход возможен и для систем, содержащих запаздывание только в линейной части. Исследование будет продолжено для других классов систем. Планируется усилить результаты за счет нестационарной линеаризации системы в окрестности различных движений. По причине ограниченного времени не удалось рассмотреть подходы к оценке области притяжения, основанные на оптимизации, однако это направление остается в планах.
Начата работа по математическому моделированию процессов, протекающих в промышленном кристаллизаторе. Процесс кристаллизации используется, например, при производстве удобрений, где представляет интерес технологическая задача получения стабильно крупных кристаллов. Система имеет существенно нелинейную динамику и большие временные задержки. Кроме того, в ней наблюдается осциллирующий устойчивый режим, что позволяет рассчитывать на нетривиальную линеаризацию - например, в виде нестационарного процесса или системы порядка выше первого. Анализ процесса кристаллизации будет служить примером практического использования алгоритмов. Построена модель кристаллизатора (на данный момент без учета динамики кристаллов) в виде системы уравнений в частных производных, в результате решения которых получены нелинейные уравнения с запаздыванием, связывающие входные и выходные переменные. Также построена компьютерная модель в пакете Ansys, которая будет использована для валидации математической модели.
| Акроним | D. Mendeleev 2021 |
|---|
| Статус | Не запущен |
|---|
