После масштабирования длинная пластина Кирхгофа с жестко защемленными торцами и свободными боковыми сторонами описывается смешанной краевой задачей для бигармонического оператора в тонкой области со слабо искривленной границей. На основе общей процедуры построения асимптотики решений эллиптических задач в тонких областях выведены и обоснованы асимптотические разложения собственных чисел и функций поставленной задачи по малому параметру – относительной ширине пластины. В низкочастотном диапазоне спектра в качестве предельной выступает задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с переменными коэффициентами, а в среднечастотном (вполне неожиданно) – задача Дирихле для уравнения второго порядка. Изучено явление пограничного слоя около торцов пластины, позволяющее построить бесконечные формальные асимптотические ряды для простых собственных чисел и соответствующих собственных функций, а также создать модель повышенной точности. Обсуждаются асимптотические конструкции в случае пластин с периодическими быстроосциллирующими границами или с иными группами краевых условий, отвечающих механически осмысленным способам крепления краев пластины.