Нашей целью является создание в Санкт-Петербурге новой лаборатории, которая объединит специалистов из нескольких различных областей современной алгебры, а именно: теории групп, алгебраической геометрии, теории представлений, теории мотивов, гомологической алгебры. Для руководства создаваемой лабораторией приглашается Д.Прасад - ведущий мировой эксперт, работающий на стыке этих областей. В лаборатории будут функционировать две основные исследовательские группы. Первая группа будет работать над различными задачами теории дискретных и проконечных групп (ключевые исследователи - Д. Прасад, С. Иванов, Р. Михайлов, Р. Григорчук, Т. Смирнова-Нагнибеда). Вторая группа (Д. Прасад, И. Панин, В. Петров, А. Ананьевский, П. Зограф) будет фокусироваться на алгебро-геометрических аспектах теории групп и теории мотивов.
В нашей лаборатории будут открыты исследовательские позиции для студентов, аспирантов и постдоков, будут организованы семинары, конференции и школы, посвященные наиболее актуальным вопросам современной алгебры. Лабораторию посетят с лекциями ведущие мировые математики, в частности, филдсовские лауреаты В.Воеводский и Е. Зельманов, а также профессора Джи Ву, Кент Орр, Эмануэль Фарджун, Харальд Хелфготт, Ольга Харлампович, Динакар Рамакришнан, Тиерри Жордано. Мы уверены, что создание лаборатории, объединяющей упомянутых выше специалистов, приведет к сильному синергетическому эффекту в их деятельности и инициирует
совершенно новую для Санкт-Петербурга и для России в целом волну современных математических исследований.
Ожидаемые результаты:В ходе выполнения проекта мы планируем получить следующие результаты:
1) Описание законов ветвления для неумеренных представлений классических редуктивных групп в качестве продолжения теории гипотез Гана-Гросса-Прасада для умеренных представлений, и получение аналогичных результатов для высших Ext-пространств.
2) Решение проблемы Боусфилда о гомологиях R-пополнения свободной группы.
3) Составление fr-словаря, переводящего предложения в fr-языке в функторы в категории групп, развитие теории высших пределов. Результаты в направлении обобщенной проблемы Фокса, описания подгрупп, определяемых мономиальными идеалами в групповых кольцах. В недавней работе Р. Михайлова и И.Б.С. Пасси показано, что подобные задачи приводят к производным функторам, ожидается построение более общей теории, включающей в себя комбинаторно-гомотопические связи такого типа.4) Описание решетки подгрупп ветвящихся групп. Построение новых примеров аменабельных групп, не являющихся элементарно аменабельными. Построение примеров
групп промежуточного роста.
5) Развитие нового многообещающего направления – применение теории апериодического порядка и случайных операторов Шрёдингера на квазикристаллах к изучению групп промежуточного роста.
6) Мы ожидаем получить описание неприводимых допустимых представлений, на которых существует -инвариантная линейная форма, и размерности пространства таких инвариантных форм в терминах (усовершенствованного) параметра Ленглендса исходного представления, для любой редуктивной алгебраической группы над локальным полем с квадратичным расширением . Для этого мы планируем изучить особенности параметрических пространств параметров Ленглендса для связных редуктивных групп над локальными полями и их морфизмы.
7) Установление двойственности между каноническими системами комплексных координат на пространстве -опер.
8) Мы планируем дать явное описание сердцевин категории фрейм-мотивов и стабильной мотивной гомотопической категории алгебраических многообразий, а также доказать мотивный вариант теоремы Сегала.
9) Построение теории сравнений между рядами Эйзенштейна и касп-формами на аналогичной теории для использованной в доказательстве теоремы Хербранда-Рибета. Применение этой теории к построению расширений таких числовых полей как – числовое поле, полученное присоединением координат точек p-кручения эллиптической кривой над полем рациональных чисел.
10) Классификация с точностью до изоморфизма и изотопии, структурируемых алгебр (над полями без расширенийнечетной степени) с одномерным пространством кососимметрических элементов.