Цель предлагаемого проекта – исследование актуальных проблем теории периодических и квазипериодических операторов. Планируется изучать задачи из трех основных областей: теории усреднения (гомогенизации) периодических дифференциальных и интегральных операторов, спектральной теории периодических операторов и спектральной теории квазипериодических разностных операторов.
Исследование операторов с периодическими или квазипериодическими коэффициентами – одно из наиболее актуальных направлений современной теории дифференциальных уравнений и математической физики. Эта тематика привлекала и привлекает многих выдающихся математиков. C одной стороны, с ней связан целый ряд нерешенных глубоких аналитических задач, пришедших из самых разных областей. С другой стороны, это направление крайне интересно и для приложений, особенно в связи с применением в современных технологиях наноматериалов, композитных материалов и фотонных кристаллов с периодической структурой. Многие физические процессы в таких материалах описываются дифференциальными и разностными операторами, содержащими естественные асимптотические параметры. В различных моделях коэффициенты операторов предполагаются периодическими, локально периодическими или квазипериодическими функциями координат.
В теории усреднения в последнее время интенсивно развивается направление операторных оценок для задач с быстро осциллирующими коэффициентами. Такие оценки позволяют получить, в частности, самый сильный тип операторной сходимости для различных функций от эллиптического оператора с быстро осциллирующими коэффициентами – резольвенты, операторной экспоненты, операторного косинуса. До недавнего времени прогресс в этом направлении был связан, главным образом, с операторными оценками при усреднении эллиптических и параболических уравнений второго порядка, то есть с аппроксимациями резольвенты и параболической полугруппы для эллиптического оператора A_ε второго порядка с быстро осциллирующими коэффициентами. Предлагаемый проект охватит менее изученные (и более сложные для исследования) направления, включающие операторные оценки при усреднении нестационарных уравнений типа Шрёдингера и гиперболического типа (то есть аппроксимации операторной экспоненты и операторного косинуса для A_ε), а также операторные оценки для эллиптических операторов высокого порядка. Впервые будут получены операторные оценки при усреднении нелокального оператора Шрёдингера. Мы также займемся исследованием операторных оценок для эллиптических операторов и стационарной системы Максвелла с локально периодическими коэффициентами.
Во многих вопросах теории периодических дифференциальных операторов возникает необходимость в детальном описании спектра оператора Лапласа в параллелепипеде. В частности, нужна информация о том, ограничены ли все расстояния между соседними собственными числами или нет. Мы планируем изучить этот вопрос для рациональных решеток периодов.
Вопрос о поведении зонных функций периодических операторов на границах спектральных зон рассматривался в основном для дифференциальных операторов. Наш проект охватывает также исследование зонных функций в случае периодических разностных операторов – оператора Шрёдингера на решетке.
Особняком в нашем проекте стоит гипотеза Пойа о равномерной оценке считающей функции собственных значений оператора Лапласа задачи Дирихле или задачи Неймана через главный член вейлевской асимптотики для той же функции. Она известна для областей, которыми можно замостить пространство. Впервые эта гипотеза будет обоснована для некоторых областей, не являющихся заполняющими.
Спектральная теория почти периодических операторов Шрёдингера – одна из самых активно развивающихся областей современной математической физики. Мы планируем исследование задач, относящихся к двум из самых актуальных направлений «почти периодической» теории – изучению поведения (обобщенных) собственных функций на бесконечности и выводу оценок для длин лакун. Первое направление давно и активно обсуждалось физиками, но только сейчас появились первые результаты об иерархическом поведении собственных функций знаменитого оператора почти-Матье и первые результаты о самоподобном поведении решений уравнения Шрёдингера, соответствующего другому популярному модельному оператору – мэрилендской модели, в ситуации, когда его спектр сингулярно непрерывен. Начался поиск новых эффективных подходов к описанию собственных функций. Оценки длин лакун важны, в частности, для доказательства известных гипотез о поведении лакун с большими номерами, о хаусдорфовой размерности спектра, о том, что открыты все лакуны в спектре оператора почти-Матье и т.д.
Наши исследования затронут множество интересных и сложных задач теории усреднения и спектральной теории периодических и квазипериодических операторов. Мы уверены, что их успешное решение позволит в дальнейшем значительно продвинуться и во многих других, не охваченных проектом направлениях.