Проект посвящен нескольким важным задачам гармонического и частотно-временного анализа, теории сингулярных интегральных операторов.
Основные направления проекта:
1) Фреймы Габора для конкретных оконных функций. На настоящий момент
известно лишь очень небольшое число оконных функций, для которых фрейм-множество удается описать полностью. Каждое новая оконная функция дополняет наши представления о фреймах Габора и ее открытие - заметное событие в частотно-временном анализе.
2) Предполагается провести исследования в области линейной динамики - интенсивно развивающегося раздела современного анализа, изучающего динамические свойства линейных операторов в нормированных пространствах или пространствах Фреше, такие как гиперцикличность, перемешивание, хаотичность по Девани. Конкретная задача
состоит в исследовании динамических свойств важных классов линейных операторов в пространствах аналитических
функций, в частности, операторов Теплица в пространствах Харди и усеченных операторов Теплица в модельных
пространствах. Также предполагается рассмотреть задачу о гиперцикличности оператора весового сдвига в
пространствах функций на ориентированных графах.
3) Планируется решить ряд задач о пространствах голоморфных функций, заданных на ограниченных симметричных
областях. Развить аналоги теории Кларка-Сарасона и доказать новые свойства обратных мер Карлесона для пространств
Харди и модельных пространств, заданных на конечномерных областях рассматриваемого типа.
4) В последние годы произошел очень существенный прогресс в решении задач оптимизации методом функции
Беллмана в контексте различных оценок в анализе: теория, разработанная в том числе основным исполнителем проекта
Н.Н. Осиповым, предлагающая единую беллмановскую формулировку сразу для очень широкого класса неравенств в
анализе, недавние результаты, показывающие, что метод функции Беллмана применим в контексте Lp-ограниченности
операторов типа Ганди (мартингальный аналог операторов Кальдерона–Зигмунда самого общего вида). Мы
собираемся ответить на открытые вопросы, касающиеся как беллмановского подхода к ограниченности общих
операторов типа Ганди и Кальдерона–Зигмунда, так и теоретико-игровой интерпретации абстрактных результатов,
полученных ранее методом функции Беллмана.
5) В рамках проекта предполагается изучение задач, связанных с аппроксимацией функций бианалитическими
наипростейшими дробями, т.е. суммами с целыми положительными коэффициентами фундаментальных решений
дифференциального оператора Бицадзе. Планируется рассмотреть задачи равномерной приближаемости функций на
компактах в комплексной плоскости бианалитическими наипростейшими дробями с полюсами, лежащими вне
компактов, на которых рассматривается аппроксимация. Еще одно направление проекта будет связано с задачей
Дирихле для несильно эллиптических систем второго порядка с постоянными коэффициентами в областях в
комплексной плоскости.
6) Изучение максимальных операторов, их коммутаторов и связанных с ними сингулярных интегральных операторов в
пространствах аналитических функций одной и нескольких комплексных переменных. Изучение этих операторов
тесно связано с изучением геометрии областей в комплексных евклидовых пространствах и, как показано в работах
Е.М. Дынькина, Н.А. Широкова, В. Тотика, имеет приложения к описанию пространств аналитических функции с
помощью оценок максимальных функций и через полиномиальные приближения.