Современные задачи математического моделирования, возникающие при решении интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, требуют развития методов аппроксимации, сочетающих высокую точность, устойчивость и вычислительную эффективность. Существенную роль в таких задачах играют локальные сплайновые схемы, обеспечивающие возможность построения численных методов с хорошими аппроксимационными и вычислительными свойствами. Наряду с классическими полиномиальными B-сплайнами, обладающими локальным носителем и заданной гладкостью, активно развиваются их обобщения — минимальные сплайны, сохраняющие указанные свойства, но не являющиеся полиномиальными на интервалах разбиения и обладающие дополнительными аппроксимационными возможностями.

Несмотря на наличие численных методов на основе минимальных сплайнов, демонстрирующих эффективность в вычислительных экспериментах, в настоящее время сохраняется существенный теоретический пробел в вопросах строгого обоснования их точности. В частности, для минимальных сплайнов малых порядков отсутствуют априорные оценки расстояния от функций заданной гладкости до соответствующих сплайновых пространств, аналогичные хорошо известным оценкам для пространств B-сплайнов. Отсутствие таких оценок не позволяет в полной мере описать аппроксимационные свойства минимальных сплайнов и существенно ограничивает возможности строгого анализа сходимости и точности численных схем, построенных на их основе. Кроме того, существующие методы решения прикладных задач с использованием минимальных сплайнов разработаны лишь для ограниченного класса задач и не охватывают, например, нелинейные интегральные уравнения.

Целью проекта является развитие теории аппроксимации квадратичными минимальными сплайнами и расширение области применения численных методов, основанных на их использовании. В рамках проекта предполагается получение строгих априорных оценок точности аппроксимации функций квадратичными минимальными сплайнами, в том числе на неравномерных сетках. Это создаст основу для исследования квазиинтерполяционных свойств соответствующих операторов и обеспечит теоретическое обоснование точности численных методов, использующих такие операторы. На базе полученных результатов планируется развитие численных методов решения линейных и нелинейных интегральных уравнений, включая нелинейные уравнения Урысона и сингулярные интегральные уравнения.

Научная новизна проекта состоит в построении первых априорных оценок аппроксимации для пространств квадратичных минимальных сплайнов. В отличие от классических полиномиальных сплайнов, рассматриваемые базисные функции являются неполиномиальными при сохранении локального носителя и заданной гладкости, что требует принципиально иной методологии построения оценок и открывает возможности для создания более точных численных схем при сопоставимых объёмах вычислений. Полученные результаты формируют фундаментальную теоретическую основу для дальнейшего развития эффективных методов численного моделирования и соответствуют приоритетным направлениям научно-технологического развития Российской Федерации.